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有源滤波器的相位响应第三部分:带通响应

导读: 在本系列的第一篇文章中,我考察了滤波器相位与滤波器实 现拓扑结构的关系。在第二篇文章中,我考察了低通和高通 响应滤波器传递函数的相位偏移。这篇文章将重点讨论带通 响应。虽然滤波器主要针对幅度响应而设计,但在一些应用 中,相位响应可能非常重要。

出于考察目的,有源滤波器的传递函数实际上是滤波器传递 函数和放大器传递函数的级联(见图1)。

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图1. 滤波器作为两个传递函数的级联。

带通传递函数

把低通原型的分子改为

有源滤波器的相位响应第三部分:带通响应

结果将把滤波器变成一个带通 函数。这会在传递函数内引入一个零点。分子中的一个s得到 一个零点,分母中的一个s得到极点。零点将产生频率上升响 应,而极点将产生频率下降响应。

二阶带通滤波器的传递函数变为:

有源滤波器的相位响应第三部分:带通响应

此处的ω为滤波器增益峰值化时的频率 (F0 = 2 π ω0)

H0 为电路增益(Q峰值化),定义为:

有源滤波器的相位响应第三部分:带通响应

其中,H为滤波器实现的增益。

对带通响应来说,Q有特殊意义。它是滤波器的选择性。定义为:

有源滤波器的相位响应第三部分:带通响应

其中,FL和FH为响应比最大值相差–3 dB时的频率。

滤波器的带宽 (BW) 定义为:

有源滤波器的相位响应第三部分:带通响应

可以证明,谐振频率 (F0)为 FL 和 FH的几何平均值,这就意味着,F0 在对数尺度上将出现在FL 和 FH 二者的中点。

有源滤波器的相位响应第三部分:带通响应

另需注意的是,在对数尺度上,带通响应的波裙在 F0 左右始终是对称的。

带通滤波器对各种Q值的幅度响应如图2所示。在此图中,中心频率的增益归一化为1 (0 dB)。

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图2. 归一化的带通滤波器幅度响应

虽然本文主要关注相位响应,但了解下滤波器幅度响应也很有用。

这里需要提醒一下。带通滤波器有两种定义方式。窄带情况为经典定义,如上文所示。然而,在某些情况下,如果高、低截止频率相差很大,则带通滤波器采用独立的高通和低通部分进行构造。这里所说的相差很大是说至少相差2个倍频程(频率×4)。这就是宽带情况。本文中,我们主要关注窄带情况。对 于宽带情况,可将滤波器视为独立的高通和低通部分。

虽然带通滤波器可用巴特沃兹、贝塞尔或切比雪夫等标准响应定义,但它们也通常按照其Q和F0定义。

带通滤波器的相位响应为:

有源滤波器的相位响应第三部分:带通响应

请注意,不存在单极点带通滤波器。

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图3. 归一化的带通滤波器相位响应

图3从中心频率的1%到中心频率的100倍对公式6进行估值。中心频率的相移为0°。中心频率为1,Q等于0.707。此Q与前一篇文章中使用的Q相同,但该篇文章中我们使用的是α。记 住,α = 1/Q。

观察后发现,此曲线的形状基本上与低通(和相应的高通) 的曲线形状相同。但是,本例中相移从中心频率下方90°开 始,在中心频率处趋于0°,最后结束于中心频率上方–90°。

在图4中,我们考察了在Q不断变化时带通滤波器的相位响 应。观察传递函数可以发现,相位变化可能发生在相对较大 的频率范围内,变化的范围与电路的Q成反比。同样,在观察 后发现,曲线的形状与低通(和高通)响应相同,仅范围有 差异。

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图4. Q不断变化时归一化的带通滤波器相位响应

放大器传递函数

之前的部分显示,传递函数基本上就是单极点滤波器的传递 函数。虽然放大器的相移通常被忽视,但它可影响复合滤波 器的整体传递。本文随机选择了AD822 用于滤波器的仿真。 这样选择的部分原因是为了最大程度地降低对滤波器传递函 数的影响。这是因为,放大器相移的频率明显高于滤波器本 身的转折频率。AD822的传递函数如图5所示,其信息直接取 自数据手册。

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图5. AD822波特图增益和相位。

示例1:Q = 20 的1 kHz 2 极点带通滤波器

第一个示例开始时是作为带通设计的滤波器。我们随意选择 了一个1 kHz的中心频率和数值为20的Q。由于Q在较高的一 侧,因此我们将使用双放大器带通 (DABP) 配置。同样,这 是随意选择的。

我们使用参考1的设计公式。相应的电路如图6所示:

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图6. 1 kHz、Q = 20的DABP带通滤波器。

本文中我们主要关注相位,但我认为考察下幅度响应也很有用。

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图7. 1 kHz、Q = 20的DABP带通滤波器幅度响应。

图8所示为相位响应:

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图8. 1 kHz、Q = 20的DABP带通滤波器相位响应。

应当注意,DABP配置为同相。图8与图3一致。

示例2:从1 kHz、3 极点0.5 dB 切比雪夫低通到带通滤波器的转换

滤波器原理以低通原型为基础,低通原型可以其他形式表示。本例使用的原型是1 kHz、3极点、0.5 dB切比雪夫滤波器。选择切比雪夫滤波器是因为,如果响应不正确,它可以 显示得更清楚。例如,通带中的纹波将不会排成一行。在本例中,巴特沃兹滤波器可能过于宽松。选择3极点滤波器是为 了能够转换一个极点对和单个极点。

LP 原型的极点位置(来自参考1)为:

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第一级为极点对,第二级为单极点。请注意,用α表示两个完 全不同的参数的做法是不可取的。左侧的α和β为复平面上的 极点位置。这些是转换算法中使用的值。右侧的α为1/Q,这 正是物理滤波器设计等式所希望看到的。

现在,低通原型被转换成了带通滤波器。参考1中列出的一系 列等式用于转换。原型滤波器的每个极点都将转换成一个极 点对。因此,转换完成时,3极点原型将拥有6个极点(3个极 点对)。此外,原点处将有6个零点。不存在单极点带通。

转换过程的部分工作是指定可合成的滤波器的3 dB 带宽。在 这种情况下,该带宽将被设为500 Hz。产生的转换结果如下:

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实际上,先将更低的增益和Q部分放入串中可能很有用,因为 这可最大程度地提高信号电平处理能力。前两级存在增益要 求的原因在于,相对于总滤波器中心频率,它们的中心频率 将会衰减(也就是说,它们将在其他部分的波裙上)。

由于结果得到的Q适中(小于20),因而将选用多级反馈拓扑 结构。我们使用参考1中多路反馈带通滤波器的设计方程设计 滤波器。图9显示了滤波器本身的原理图。

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图9. 1 kHz、6极点、0.5 dB切比雪夫带通滤波器。

图10中可以看到完整滤波器的相移。曲线图单独显示了第一 部分的相移(第1部分)、前两个部分的组合相移(第2部 分),以及完整滤波器的相移(第3部分)。这些曲线显示了 "实际"滤波器部分的相移,其中包括放大器的相移和滤波器 拓扑结构的反相。

图10中有几点细节需要注意。第一,相位响应具有累积性。第 一部分显示了180°的相位变化(滤波函数的相移,忽视了滤波 器拓扑结构的相移)。第二部分显示了因具有两部分而产生的 360°相位变化,每个部分180°。记住,360° = 0°。第三部分显 示了540°的相移,每个部分180°。还应注意,在高于10 kHz的 频率处,我们开始看到相位因放大器响应而轻微滚降。还可以 看出,滚降也具有累积性,会随着每个部分而增大。

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图10. 1 kHz、6极点、0.5 dB切比雪夫带通滤波器的相位响应。

在图11中我们可以看到完整滤波器的幅度响应。

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图11. 1 kHz、6极点、0.5 dB切比雪夫带通滤波器的幅度响应。

结论

本文讨论的是带通滤波器的相移。在前面几篇文章中,我们 考察了与滤波器拓扑结构相关的相移以及低通和高通拓扑结 构的相移。在后续文章中,我们将考察陷波滤波器和全通滤 波器。在最后一期,我们将总结并考察相移如何影响滤波器 的瞬态响应,同时还会考察群延迟、脉冲响应、阶跃响应, 以及它们对信号的意义。

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